Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R）的圖象的一部分如圖所示．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數y=f（x）+f（x+2）的最小正周期和最值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由圖象知，A、T的值，求出ω及φ的值，即得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由三角恒等變換，化簡函數y，求出它的最小正周期與最值．

解答： 解：（Ⅰ）由圖象知，A=2，
∵

2π

ω

=8，∴ω=

π

4

，
∴f（x）=2sin（

π

4

x+φ）；
∵函數f（x）的圖象過點（1，2），
∴

π

4

×1+φ=

π

2

+2kπ，
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）；
（Ⅱ）由題意，函數y=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2sin[

π

4

（x+2）+

π

4

]
=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2cos（

π

4

x+

π

4

）
=2

2

cos

π

4

x，
∴最小正周期是8，
y_max=2

2

，y_min=-2

2

．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，解題時還應用了三角函數的恒等變換公式，數形結合思想等，是基礎題．