Question

【題目】正方體中，點在線段上運動（包括端點），則與所成角的取值范圍是_______．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，設動點的的坐標，根據棱長寫出點的坐標，進而寫出向量的坐標，用夾角公式寫出向量夾角的余弦值，根據二次函數及余弦函數的性質取最大、最小值，進而可求角的取值范圍。

詳解：以點C為圓心，分別以為軸，建立空間直角坐標系。

設正方體的棱長為1，則 、 。

設點 。

則

設與的夾角為，由夾角公式得

當時， 取最大值，根據余弦函數在上為減函數，

因為，所以此時取最小值。

因為點在線段上運動（包括端點），所以。

根據二次函數的單調性可知當時， 取最小值 。

根據余弦函數在上為減函數，因為，所以此時取最大值。

所以，

所以與所成角的取值范圍是 。