Question

【題目】已知數列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=n（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式an；
（2）令 ，寫出Tn關于n的表達式，并求滿足Tn＞ 時n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a1+2a2+3a3+…+nan=n，

可得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=n﹣1（n＞1），

相減可得nan=1，即有an= ，（n＞1），

當n=1時，a1=1，上式也成立，

可得an= ，（n∈N*）；

（2）解：由 ，

結合（1）可得，bn=（2n﹣1）（ ）n，

前n項和Tn=1 +3（ ）2+…+（2n﹣3）（ ）n﹣1+（2n﹣1）（ ）n，

Tn=1（ ）2+3（ ）3+…+（2n﹣3）（ ）n+（2n﹣1）（ ）n+1，

相減可得， Tn= +2[（ ）2+…+（ ）n﹣1+（ ）n]﹣（2n﹣1）（ ）n+1

= +2 ﹣（2n﹣1）（ ）n+1，

化簡可得，前n項和Tn=3﹣ ．

由Tn﹣Tn﹣1=3﹣ ﹣（3﹣ ）= ，

當n≥2時，Tn＞Tn﹣1，可得數列{Tn}遞增，

由T4=3﹣ = ＜ ；T5=3﹣ = ＞ ．

即有n≥5時，Tn≥T5＞ ．

故n的取值范圍是n≥5，且n∈N*

【解析】（1）由條件，可將n換為n﹣1，相減，即可得到所求通項公式；（2）求得bn=（2n﹣1）（ ）n ， 由數列的求和方法：錯位相減法，運用等比數列的求和公式，計算可得Tn ， 判斷單調性，求得T4 ， T5 ， 即可得到所求n的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)．