Question

【題目】設函數f（x）= （a＞b＞0）的圖象是曲線C．

（1）在如圖的坐標系中分別做出曲線C的示意圖，并分別標出曲線C與x軸的左、右交點A1 ， A2 ．
（2）設P是曲線C上位于第一象限的任意一點，過A2作A2R⊥A1P于R，設A2R與曲線C交于Q，求直線PQ斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= （a＞b＞0），

∴y= ，

∴a2y2=b2（a2﹣x2），∴b2x2+a2y2=b2a2，

∴ =1，a＞b＞0，且y≥0，

其圖象表示焦點在x軸上橢圓的一部分，

如圖所示，A1 （﹣a，0）、A2（a，0）

（2）解：曲線C的方程是 =1（a＞b＞0，y≥0），

設 直線A1P的斜率是k，

因為P是曲線C上位于第一象限內的任意一點，所以k∈（0， ）．

設P，Q的坐標分別是（x1，y1），（x2，y2），則直線A1P的方程是y=k（x+a），

由 消去y得，（a2k2+b2）x2+2a3k2x+a2（a2k2﹣b2）=0，

解得x1= ，y1= ．

將上式中的a換成﹣a，k換成﹣ 得x2= ，y2= ，

∴KPQ= = （k﹣ ），由于y= （k﹣ ）在∈（0， ）上單調遞增，

∴KPQ= = （k﹣ ）＜ （ ﹣ ）= ，

故直線PQ斜率的取值范圍為（﹣∞， ）．

【解析】（1）化簡函數的解析式為 =1，a＞b＞0，且y≥0，其圖象表示焦點在x軸上橢圓的一部分，數形結合求得，A1 和A2的坐標．（2）先考察一般性，直線A1P的方程是y=k（x+a），與橢圓方程聯立，求得P，Q的坐標，可得直線PQ斜率，即可求出取值范圍．