Question

【題目】已知，，.

（1）解關(guān)于的方程；

（2）設(shè)，時(shí)，對(duì)任意，總有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）利用換元法得到含參數(shù)的一元二次方程，再對(duì)分類討論，分析方程解的情況；

（2）題中任意，總有可以看作區(qū)間內(nèi)函數(shù)最大值與函數(shù)最小值的差值問(wèn)題，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在區(qū)間上的最值，再根據(jù)不等式求出參數(shù)的取值范圍.

（1）由題知，

代入有，

整理得，

令，，

即，，

當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，

當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，解得，

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，

，

，

當(dāng)時(shí)，方程僅有一個(gè)根，

；

（2），代入，

有，

令，，設(shè)，

①當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，

即，

解得，舍去，

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取最小值，

當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，

即，

解得，

所以，

當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，

在區(qū)間單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，

即，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，

所以，

綜上.