Question

【題目】過點(diǎn)的直線與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上且離心率為的橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線過線段的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線對稱．

（1）求直線的方程；

（2）求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析： 根據(jù)離心率大小可以得到的值，設(shè)出橢圓的方程；因?yàn)?/span>在橢圓上，代入橢圓方程，得到兩個(gè)等式，根據(jù)這兩個(gè)等式表示出直線的斜率。直線過線段的中點(diǎn)，故該中點(diǎn)滿足，由此可以求出的關(guān)系，代入直線斜率的表達(dá)式中即可求得，又直線過點(diǎn)，故可求出直線的方程；

橢圓上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線對稱，列出方程組，求出的值，從而得到橢圓的方程。

解析：（1）由，得，從而

設(shè)橢圓方程為

在橢圓上，則兩式相減得，

設(shè)的中點(diǎn)為則又在直線上， ，于是

，則直線的方程為.

（2）右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)設(shè)為

則解得

由點(diǎn)在橢圓上，得，

所求橢圓的方程的方程為.