【題目】已知函數
，其中
．
是自然對數的底數．
（1）若曲線
在
處的切線方程為
．求實數
的值；
（2）① 若
時，函數既有極大值，又有極小值，求實數
的取值范圍；
② 若
，
．若
對一切正實數
恒成立，求實數
的最大值（用表示）．
【答案】（1）
.（2）①
②
【解析】
試題（1）由導數幾何意義得
，又過過點(1,0)，因此可列方程組
，解得（2）①由題意得，導函數有兩個不同的零點，即
有兩個不同的解，研究目標函數
得
在區間
上為減函數，在區間
上為增函數，因此
②先化簡不等式：
，再分別求證
，
（當且僅當都在
處取到等號），最后利用不等式性質得
試題解析： (1) 由題意知曲線
過點(1,0)，且；又因為
，則有解得.
(2)①當
時，函數的導函數
，若
時，得，設 . 由
，得
，
. 當
時，
，函數在區間上為減函數，
；當
時，
，函數在區間上為增函數，；所以，當且僅當時，
有兩個不同的解，設為
，
.
此時，函數既有極大值，又有極小值.
②由題意
對一切正實數
恒成立，取得.下證
對一切正實數恒成立.首先，證明
. 設函數
，則
，當
時，
；當
時，
；得
，即，當且僅當都在處取到等號. 再證. 設
，則
，當時，
；當時，
；得
，即，當且僅當都在處取到等號. 由上可得，所以
，即實數
的最大值為.
計算高手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在數列{an}中，已知
，且2an+1=an+1（n∈N*）．
（1）求證：數列{an-1}是等比數列；
（2）若bn=nan，求數列{bn}的前n項和Tn．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校舉行漢字聽寫比賽，為了了解本次比賽成績情況，從得分不低于50分的試卷中隨機抽取100名學生的成績(得分均為整數，滿分100分)進行統計，請根據頻率分布表中所提供的數據，解答下列問題：
（1）求
的值；
（2）若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在一個長方體的容器中，里面裝有少量的水，現在將容器繞著其底部的一條棱傾斜．
（1）在傾斜的過程中，水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形，對嗎？
（2）在傾斜的過程中，水的形狀也不斷變化，可以是棱柱，也可能變為棱臺或棱錐，對嗎？
（3）如果傾斜時，不是繞著底部的一條棱，而是繞著其底面的一個頂點，上面的第（1）問和第（2）問對不對？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動點P與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比值為2，點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程
（2）過點（﹣1，0）作直線與曲線C交于A，B兩點，設點M坐標為（4，0），求△ABM面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F且斜率為
的直線l與拋物線C交于A，B兩點，B在x軸的上方，且點B的橫坐標為4．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）設點P為拋物線C上異于A，B的點，直線PA與PB分別交拋物線C的準線于E，G兩點，x軸與準線的交點為H，求證：HGHE為定值，并求出定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在正四面體ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點，則下列命題正確的序號是______
①異面直線AB與CD所成角為90°；
②直線AB與平面BCD所成角為60°；
③直線EF∥平面ACD
④平面AFD⊥平面BCD．
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