Question

【題目】已知函數。

（1）若，試判斷的零點的個數。

（2）若恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）若，對函數求導，根據導函數的正負，可得函數的單調性，從而可判斷的零點的個數；（2）法一： 恒成立等價于恒成立，令，設，則，再令，利用導數研究的單調性，從而可得到的單調性，即可求得的取值范圍；法二：構造令，得到，令，利用導數研究的單調性，即可得的最小值，從而可得的取值范圍.

試題解析：（1）若， ， .

∴當， ， 單調遞減；當， ， 單調遞增.

∴.

∴函數的零點個數為0　　　

（2）若，變形得到： .

法一：令，得到.

設，則.

令，則，可得在上單調遞增，在上單調遞減.

∴，則.

∴在上單調遞減

當， ，則.

∴.

法二：令，得到，

令，則， ，

∴在上單調遞減，在上單調遞增.

∴，即在上單調遞增

∴當時， ，即，

∴