Question

已知圓心為C的圓，滿足下列條件：圓心C位于x軸正半軸上，與直線3x-4y+7=0相切，且被軸截得的弦長為，圓C的面積小于13．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）設過點M(0，3)的直線l與圓C交于不同的兩點A，B，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OADB．是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）圓C的標準方程為：(x-1)²+y²=4；（Ⅱ）不存在這樣的直線l．

試題分析：（I）用待定系數法即可求得圓C的標準方程；（Ⅱ）首先考慮斜率不存在的情況.當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂).l與圓C相交于不同的兩點，那么Δ>0.由題設及韋達定理可得k與x₁、x₂之間關系式，進而求出k的值.若k的值滿足Δ>0，則存在；若k的值不滿足Δ>0，則不存在.
試題解析：（I）設圓C：(x-a)²+y²=R²(a>0)，由題意知
 解得a=1或a=，                  3分
又∵S=πR²<13，
∴a=1，
∴圓C的標準方程為：(x-1)²+y²=4．                  6分
（Ⅱ）當斜率不存在時，直線l為：x=0不滿足題意．
當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
又∵l與圓C相交于不同的兩點，
聯立消去y得：(1+k²)x²+(6k-2)x+6=0，        9分
∴Δ=(6k-2)²-24(1+k²)=36k²-6k-5>0，
解得或．
x₁+x₂=，y₁+ y₂=k(x₁+x₂)+6=，
，，
假設∥，則，
∴，
解得，假設不成立．
∴不存在這樣的直線l．                   13分