Question

【題目】函數和有相同的公切線，則實數a的取值范圍為_____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

分別求出導數，設出切點，得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線方程，運用導數求得單調區間、極值和最值，即可得到a的范圍．

解：兩曲線y＝x2﹣1與y＝alnx﹣1存在公切線，

y＝x2﹣1的導數y′＝2x，y＝alnx﹣1的導數為y′，

設y＝x2﹣1相切的切點為（n，n2﹣1）與曲線y＝alnx﹣1相切的切點為（m，alnm﹣1），

y﹣（n2﹣1）＝2n（x﹣n），即y＝2nx﹣n2﹣1，

y﹣（alnm﹣1）（x﹣m），即：y

∴

∴，

∴

即有解即可，

令g（x）＝x2（1﹣lnx），

y′＝2x（1﹣lnx）x（1﹣2lnx）＝0，可得x，

∴g（x）在（0，）是增函數；（，+∞）是減函數，

g（x）的最大值為：g（），

又g（0）＝0，

∴，∴a≤2e．

故答案為：（﹣∞，2e]．