Question

【題目】在菱形中，，為線段的中點（如圖1）．將沿折起到的位置，使得平面平面，為線段的中點（如圖2）．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）當四棱錐的體積為時，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析. （Ⅱ）見解析. （Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ）證明OD'⊥AO． 推出OD'⊥平面ABCO． 然后證明OD'⊥BC．（Ⅱ）取P為線段AD'的中點，連接OP，PM；證明四邊形OCMP為平行四邊形，然后證明CM∥平面AOD'；（Ⅲ）說明OD'是四棱錐D'﹣ABCO的高．通過體積公式求解即可．

（Ⅰ）證明：因為在菱形中，，為線段的中點，

所以．

因為平面平面

平面平面，

平面，

所以平面．

因為平面，

所以．

（Ⅱ）證明：如圖，取為線段的中點，連接OP,PM；

因為在中，，分別是線段，的中點，

所以，．

因為是線段的中點，菱形中，，，

所以．

所以，．

所以，．

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

因為平面，平面，

所以平面；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面．

所以 是四棱錐的高，又S= ,

因為，

所以．