Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為3的菱形，∠ABC=60°．PA⊥面ABCD，且PA=3．F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上．

（Ⅰ）若CE∥面BDF，求PE：ED的值；

（Ⅱ）求二面角B-DF-A的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）arctan

【解析】

（Ⅰ）根據線面平行的性質定理進行推理得到E為PD中點即可求PE：ED的值；

（Ⅱ）根據二面角的定義作出二面角的平面角，即可求二面角B﹣DF﹣A的大小．

（Ⅰ）過E作EG∥FD交AP于G，連接CG，連接AC交BD于O，連接FO．

∵EG∥FD，EG面BDF，FD面BDF，∴EG∥面BDF，又EG∩CE=E，CE∥面BDF，EG，CE面CGE，

∴面CGE∥面BDF，又CG面CGE，∴CG∥面BDF，

又面BDF∩面PAC=FO，CG面PAC，∴FO∥CG．

又O為AC中點，∴F為AG中點，且AF=1，∴AF=FG=1，∵PA=3，∴FG=GP=1，

∴E為PD中點，PE：ED=1：1．

（Ⅱ）過點B作BH⊥直線DA交DA延長線于H，過點H作HI⊥直線DF交DF于I，

∵PA⊥面ABCD，∴面PAD⊥面ABCD，∴BH⊥面PAD，由三垂線定理可得DI⊥IB，

∴∠BIH是二面角B-DF-A的平面角．由題易得AH=，BH=，HD=，

且=，∴HI=，∴tan∠BIH=×=，

∴二面角B-DF-A的大小為arctan．