Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線： 上，直線： 與拋物線交于， 兩點(diǎn)，且直線， 的斜率之和為-1.

（1）求和的值；

（2）若，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與拋物線交于點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線為，記直線， 與軸圍成的三角形面積為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）.

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)代入拋物線： ，得，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，得，則， ，由，求出；（2）求出直線DM的方程為，聯(lián)立直線DM的方程和拋物線的方程，求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線n的斜率為，得到切線n的方程，聯(lián)立直線DM、n的方程，求出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，且，采用導(dǎo)數(shù)的方法得出單調(diào)性，由單調(diào)性求出最小值。

試題解析：（1）將點(diǎn)代入拋物線： ，得，

，得，

設(shè)， ，則， ，

解法一： ，

由已知得，所以， .

解法二： ，

由已知得.

（2）在直線的方程中，令得， ，

直線的方程為： ，即，

由，得，

解得： ，或，所以，

由，得， ，切線的斜率，

切線的方程為： ，即，

由，得直線、交點(diǎn)，縱坐標(biāo)，

在直線， 中分別令，得到與軸的交點(diǎn)， ，

所以 ， ， ，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

∴當(dāng)時(shí)， 最小值為.