Question

【題目】已知過點的曲線的方程為．

（Ⅰ）求曲線的標準方程:

（Ⅱ）已知點，為直線上任意一點，過作的垂線交曲線于點，．

（ⅰ）證明：平分線段（其中為坐標原點）；

（ⅱ）求最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）見解析（ⅱ）1

【解析】

(I)由題意把點代入方程可得的值，利用橢圓的定義可求出曲線的標準方程；

(II)(i)先設，，的中點，和直線的方程為和直線的方程為，聯解橢圓方程可得到的坐標，證明即三點共線，即證明出平分線段；

(ii)利用兩點間距離公式和橢圓弦長公式分別求出，利用基本不等式求最值.

解：（Ⅰ）將代入曲線的方程，

即，

解得；

由橢圓定義可知曲線的軌跡為以，為焦點的橢圓，

即，，

所以的標準方程為．

（Ⅱ）（ⅰ）設，，的中點

設的方程為，

則的方程為，

所以．

將直線與橢圓的方程聯立，

得．

則，，

，

，

，

平分線段．

（ⅱ），

，令，即，

令，

則，

在上為增函數，

即，

（當且僅當“”時取等號）

的最大值為1．