Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（是參數），以原點為極點，軸的非負半軸

為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設點在曲線上，曲線在點處的切線與直線垂直，求點的直角坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）根據直線參數方程消去參數，即可求出直線普通方程；根據極坐標與直角坐標的互化公式，即可求出直角坐標方程；

（Ⅱ）設點，根據題意，得到，再由點在曲線：上，列出方程組，求解，即可得出結果.

（Ⅰ）由消去參數，得，即，

所以直線的普通方程是．

由，得，

根據公式得，所以曲線的直角坐標方程是．

（Ⅱ）對于直線的參數方程為（是參數），因為，所以直線的斜率是．

因為曲線在處的切線與直線垂直，又曲線在處的切線與垂直，

所以直線與直線平行．

所以直線與直線的斜率相等．所以直線的斜率．

設點，則，整理得．

又因為點在曲線：上，

所以其坐標必然滿足曲線的方程：，代入得．

聯立解得或．

所以點的直角坐標為或