Question

（本小題滿分13分）

如圖，圓柱OO₁內有一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O的直徑。
（Ⅰ）證明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）設AB=AA₁。在圓柱OO₁內隨機選取一點，記該點取自于
三棱柱ABC-A₁B₁C₁內的概率為P。
（i）                            當點C在圓周上運動時，求P的最大值；
記平面A₁ACC₁與平面B₁OC所成的角為（0°<  90°）。當P取最大值時，求cos的值。

Answer 1

本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，以及幾何體的體積幾何概型等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數形結合思想、化歸與轉化思想、必然與或然思想。滿分13分。


解法一 ：
（I）平面，平面，   
是圓O的直徑，
又， 平面
而平面，
所以平面平面。
（II）（i）設圓柱的底面半徑為r，則
故三棱柱的體積

又

當且僅當時等號成立。
從而，
而圓柱的體積，
故，當且僅當
，即時等號成立。
所以，的最大值等于
（ii）由（i）可知，取最大值時，
于是，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系（如圖），
則，，
平面，是平面的一個法向量
設平面的法向量，
 
取，得平面的一個法向量為
，

解法二：
（I）同解法一
（II）（i）設圓柱的底面半徑為r，則，
故三棱柱的體積
設，
則，，
由于，當且僅當即時等號成立，故
而圓柱的體積，
故，當且僅當即時等號成立。
所以，的最大值等于
（ii）同解法一
解法三：
（I）同解法一
（II）（i）設圓柱的底面半徑，則，故圓柱的體積
因為，所以當取得最大值時，取得最大值。
又因為點C在圓周上運動，所以當時，的面積最大。進而，三棱柱的體積最大，且其最大值為
故的最大值等于
（ii）同解法一

略