Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，若方程有兩個相異實根，且，證明： .

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）對原函數求導，根據導函數的正負得到函數的單調區間。（2）由條件知的兩個相異實根分別為，構造函數，研究函數的單調性，得函數遞減，由題意可知，故，所以，這樣就將化到了同一個單調區間上去，直接研究函數和0的關系即可,最終根據的單調性可以得到結果。

解析：（1）因為，

函數的定義域為，

因為，當，即時， 對恒成立

所以在上是增函數，

當，即時，由得或，

則在， 上遞增

在上遞減；

（2）設的兩個相異實根分別為，滿足，

且，

令的導函數，

所以在上遞減，由題意可知，

故，所以，令，

令，

則，

當時， ，所以是減函數，

所以，

所以當時， ，

因為， 在上單調遞增，

所以，故，

綜上所述， .