Question

【題目】已知橢圓的方程為，雙曲線的一條漸近線與軸所成的夾角為，且雙曲線的焦距為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設分別為橢圓的左，右焦點，過作直線 (與軸不重合)交橢圓于， 兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據題意列出關于 、 、的方程組，結合性質 ， 求出 、 、，即可得結果；（2）設， ，設直線的方程為 ，直線與曲線聯立，根據韋達定理，將 用 表示，利用基本不等式即可得結果.

試題解析：(1)一條漸近線與軸所成的夾角為知，即，

又，所以，解得， ，

所以橢圓的方程為.

(2)由(1)知，設， ，設直線的方程為.

聯立得，

由得，

∴，

又，所以直線的斜率.

①當時， ；

②當時， ，即.

綜合①②可知，直線的斜率的取值范圍是.