Question

【題目】設函數，.

（1）討論在上的單調性；

（2）當時，若存在正實數，使得對，都有，求的取值范圍..

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求得，然后分和兩種情況討論，分析導數在區間上的符號變化，即可得出函數在區間上的單調區間；

（2）由（1）可知，當時，函數在上單調遞減，則，使得對任意，都有，構造函數，分和兩種情況討論，分析函數的單調性，結合在區間上恒成立可求得實數的取值范圍.

（1）由，得，，，

當時，由，得，即函數在上單調遞增，

由，得，即函數在上單調遞減；

當時，在上恒成立，即函數在上單調遞增.

綜上所述，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

（2），當時，由（1）結合函數的單調性知，

，使得對任意，都有，則由得.

設，則，

由得，由得.

（Ⅰ）若，則，故，即函數在上單調遞減，

，對任意，都有，不合題意；

（Ⅱ）若，則，故，

在上單調遞增，

，對任意，都有，符合題意，

此時取，可使得對，都有.

綜上可得的取值范圍是.