Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，為線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求直線與平面所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）若在段上，且直線與平面相交，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系：

（Ⅰ）求得直線的方向向量和平面的法向量，通過向量的夾角求得線面角的夾角；

（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法求二面角的大小；

（Ⅲ）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的方向向量和法向量不垂直，即可求得范圍.

（Ⅰ） 因?yàn)?/span>，

所以；

又因?yàn)?/span>，，

所以，

因此.

以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則，，，

，，.

所以，，.

設(shè)平面的法向量，

由得：

令，則

設(shè)直線與平面所成角為，

則有=

所以

即：直線與平面所成角的余弦值為.

（Ⅱ）同理可得：平面的法向量，

則有

因?yàn)槎�面�?/span>的平面角為鈍角，

所以二面角的大小為.

（Ⅲ）設(shè)，

由得：.

則，

又因?yàn)橹本�與平面相交，

所以.

即: , 解得：

所以的取值范圍是.