Question

【題目】如圖1，在邊長為2的等邊△ABC中，D，E分別為邊AC，AB的中點．將△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如圖2的四棱錐A﹣BCDE，連結BD，CE，且BD與CE交于點H．

（1）證明：；

（2）設點B到平面AED的距離為h1，點E到平面ABD的距離為h2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）在圖1中，證明BD⊥AC，ED∥BC，則在圖2中，有，得DH，然后證明△BAD∽△AHD，可得∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；

（2）由VB﹣AED＝VE﹣ABD，得，分別求出三角形ABD與三角形AED的面積得答案．

（1）證明：在圖1中，∵△ABC為等邊三角形，且D為邊AC的中點，∴BD⊥AC，

在△BCD中，BD⊥CD，BC＝2，CD＝1，∴BD，

∵D、E分別為邊AC、AB的中點，∴ED∥BC，

在圖2中，有，∴DH．

在Rt△BAD中，BD，AD＝1，

在△BAD和△AHD中，∵，∠BDA＝∠ADH

∴△BAD∽△AHD．

∴∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；

（2）解：∵VB﹣AED＝VE﹣ABD，

∴，則．

∵△AED是邊長為1的等邊三角形，∴．

在Rt△ABD中，BD，AD＝1，則AB．

∴，

則．