Question

【題目】如圖，在五面體ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE= AD．
（1）求異面直線BF與DE所成的角的大小；
（2）證明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求銳二面角A﹣CD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點．

設AB=1，依題意得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1），M（ ，1， ）．

=（﹣1，0，1）， =（0，﹣1，1），

于是cos＜ ， ＞= = = ．

所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°

（2）證明：由 =（ ，1， ）， =（﹣1，0，1），

=（0，2，0），可得 =0， =0．

因此，CE⊥AM，CE⊥AD．

又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD．

而CE∥平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE

（3）解：設平面CDE的法向量為 =（x，y，z），

則 于是 令x=1，可得 =（1，1，1）．

又由題設，平面ACD的一個法向量為v=（0，0，1）．

所以， = = = ．

因為二面角A﹣CD﹣E為銳角，所以其余弦值為

【解析】（1）建立空間直角坐標系，點A為坐標原點．設AB=1，求出B，C，D，E，F，M．求出 =（﹣1，0，1）， =（0，﹣1，1），利用空間向量的數量積求解異面直線BF與DE所成的角的大小．（2）證明 =0， =0．推出CE⊥平面AMD．然后證明平面AMD⊥平面CDE．（3）求出平面CDE的法向量為 ，平面ACD的一個法向量為v，利用空間向量的數量積求解二面角的余弦值．
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．