Question

對于函數f（x），如果有限集合S滿足：①S⊆N^*；②當x∈S時，f（x）∈S，則稱集合S是函數f（x）的生成集．例如f（x）=4-x，那么集合S₁={2}，S₂={1，3}，S₃={1，2，3}都是f（x）的生成集，對于f（x）=

ax+b

x-2

（x＞2，a，b∈R，若f（x）是減函數，S是f（x）的生成集，則S不可能是（　　）

• A、{3，4，5，6，8，14}
• B、{3，4，6，10，18}
• C、{3，5，6，7，10，16}
• D、{3，4，6，7，12，22}

Answer 1

分析：利用生成集的意義和減函數的意義即可判斷出．

解答：解：對于A：假設S是f（x）的生成集，又f（x）是減函數，
∴

f(3)= 3a+b 3-2 =14 f(4)= 4a+b 4-2 =8

，解得

a=2 b=8

，可得f（x）=

2x+8

x-2

，
驗證：f（5）=

2×5+8

5-2

=6，f（6）=

2×6+8

6-2

=5，f(8)=

2×8+8

8-2

=4，f（14）=

2×14+8

14-2

=3．
因此：S是f（x）的生成集．故假設正確．
同理對于B，D也正確．
對于C：假設S是f（x）的生成集，又f（x）是減函數，
∴

f(3)= 3a+b 3-2 =16 f(5)= 5a+b 5-2 =10

，解得

a=7 b=-5

，∴f（x）=

7x-5

x-2

，
驗證：f（6）=

7×6-5

6-2

=

37

4

∉S，因此假設不正確，故S不是f（x）的生成集．
綜上可知：只有A，B，D正確．
故選：C．

點評：本題考查了“生成集”的意義、減函數的意義，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．