Question

如圖，對于函數f（x）=x²（x＞0）的圖象上不同兩點A（a，a²）、B（b，b²），直線段AB
必在弧線段AB的上方，設點C分

AB

的比為λ（λ＞0），則由圖象中點C在點C'上方可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．請分析函數y=lnx（x＞0）的圖象，類比上述不等式，可以得到的不等式是

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）=x²（x＞0）的圖象可知，此函數的圖象是向下凹的，即可得到不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2，再根據對數函數的圖象的特征，即可類比得到相應的不等式．

解答：解：∵函數f（x）=x²（x＞0）上任意兩點A（a，a²）、B（b，b²），線段AB在弧線段AB的上方，
設點C分

AB

的比為λ（λ＞0），則由圖象中點C在點C'上方可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．
據此我們從圖象可以看出：
函數f（x）=x²（x＞0）的圖象是向下凹的，
類比對數函數可知，對數函數的圖象是向上凸的，
分析函數y=lnx（x＞0）的圖象，類比上述不等式，可以得到的不等式是

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．
故答案為：

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．

點評：本題主要考查類比推理的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握對數函數圖象的凸凹性，本題比較簡單．