Question

已知動直線與橢圓交于、兩不同點，且△的面積=，其中為坐標原點.
（1）證明和均為定值；
（2）設線段的中點為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在點，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）；（3）不存在點滿足要求.

試題分析：（1）先檢驗直線斜率不存在的情況，后假設直線的方程，利用弦長公式求出的長，利用點到直線的距離公式求點到直線的距離，根據三角形的面積公式，即可求得與均為定值；（2）由（1）可求線段的中點的坐標，代入并利用基本不等式求最值；（3）假設存在，使得，由（1）得，，從而求得點的坐標，可以求出直線的方程，從而得到結論.
試題解析：（1）當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關于軸對稱，所以
因為在橢圓上，因此   ①
又因為所以   ②
由①、②得，此時     2分
當直線的斜率存在時，設直線的方程為
由題意知，將其代入，得
其中即 （*）
又
所以
因為點到直線的距離為
所以

又，整理得，且符合（*）式
此時

綜上所述，結論成立         5分
（2）解法一：
（1）當直線的斜率不存在時，由（I）知
因此               6分
（2）當直線的斜率存在時，由（I）知

所以

所以，當且僅當，即時，等號成立
綜合（1）（2）得的最大值為             9分
解法二：因為

所以
即當且僅當時等號成立
因此的最大值為                   9分
（3）橢圓C上不存在三點，使得 10分
證明：假設存在滿足
由（I）得

解得
所以只能從中選取，只能從中選取
因此只能在這四點中選取三個不同點
而這三點的兩兩連線中必有一條過原點
與矛盾
所以橢圓上不存在滿足條件的三點       14分.