Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F為CD的中點.

   （Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；

   （Ⅱ）求異面直線AC，BE所成角余弦值；

   （Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD

∴DE⊥AF。

又∵AC=AD=C，F為CD中點

∴AF⊥CD，

∴AF⊥面CDE

∴AF⊥平面CDE  。

   （Ⅱ）∵

取DE中點M，連結AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形

AM//BE，則∠CAM為AC與BE所成的角。在△ACM中，AC=2a

由余弦定理得：

∴異面直線AC、AE所成的角的余弦值為。

   （Ⅲ）延長DA。EB交于點G，連結CG。

  因為AB//DE，AB=DE，所以A為GD中點。又因為F為CD中點，所以CG//AF。

因為AF⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE。

故∠DCE為面ACD和面BCE所成二面角的平面角易求∠DCE=45°。