Question

【題目】已知函數f(x)＝.

(1) 若不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，求實數k的取值范圍；

(2) 當x∈ (m>0，n>0)時，函數g(x)＝tf(x)＋1(t≥0)的值域為[2－3m，2－3n]，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) k≤1;(2) (0，1)．

【解析】試題分析：（1）把f(x)＝代入，化簡得k≤x在[1，3]上恒成立，所以k≤1。（2）g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，又x∈ (m>0，n>0)，所以g(x)在單調遞增，所以即，即m，n是關于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的兩個不等的正根。由根的分布，可得，解得0<t<1。

試題解析：(1) ∵ xf(x)＋＝＋＝x，

∴ 不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，即為k≤x在[1，3]上恒成立．

∴ k≤1.

(2) ∵ g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，

若t＝0，則g(x)＝1，不合題意，∴ t>0.

又當t>0時，g(x)＝－＋t＋1在上顯然是單調增函數，

∴即

∴ m，n是關于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的兩個不等的正根．

令h(x)＝tx2－3x＋1－t，則

解得0<t<1.

∴ 實數t的取值范圍是(0，1)．