Question

(本小題滿分12分)
已知點是區域,()內的點，目標函數，的最大值記作.若數列的前項和為，,且點（）在直線上.
（Ⅰ）證明：數列為等比數列；
（Ⅱ）求數列的前項和.

Answer 1

解：（Ⅰ）見解析；
（Ⅱ）∴

試題分析：（1）根據當直線過點時，目標函數取得最大值，故
進而得到的關系式，然后利用通項公式與前n項和的關系得到證明。
（2）由（Ⅰ）得，∴，根據通項公式的特點，分組求和得到結論。
解：（Ⅰ）由已知當直線過點時，目標函數取得最大值，故
∴方程為
∵（）在直線上， 
∴ ①
∴ ②
由①-②得，      ∴，
∴
∵，    ∴數列以為首項，為公比的等比數列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴
∵，  ∴
∴

點評：解決該試題的關鍵是分析出線性目標函數的最優解，然后得到，然后得到。