Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n,S_n,S_n－成等比數(shù)列.
(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；
(3)求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和.

Answer 1

解：∵a_n,S_n,S_n－成等比數(shù)列，∴S_n²=a_n·(S_n－)(n≥2)                      (^*)
(1)由a₁=1,S₂=a₁+a₂=1+a₂,代入(^*)式得:a₂=－
由a₁=1，a₂=－,S₃=+a₃代入(^*)式得：a₃=－
同理可得：a₄=－,由此可推出：a_n=
(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由(^*)知猜想成立.
②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，a_k=－成立
故S_k²=－·(S_k－)
∴(2k－3)(2k－1)S_k²+2S_k－1=0
∴S_k= (舍)
由S_k+1²=a_k+1·(S_k+1－),得(S_k+a_k+1)²=a_k+1(a_k+1+S_k－)

由①②知，a_n=對(duì)一切n∈N成立.
(3)由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)和S_n= .

略