Question

【題目】已知圓與圓 的公共點的軌跡為曲線，且曲線與軸的正半軸相交于點．若曲線上相異兩點滿足直線的斜率之積為．

（1）求的方程；

（2）證明直線恒過定點，并求定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析， ．

【解析】試題分析：（1）確定，可得曲線是長軸長，焦距的橢圓，即可求解橢圓的方程；（2）分類討論，設出直線的方程，代入橢圓的方程，利用韋達定理，結合直線的斜率之積為，即可證直線恒過定點，并求出定點的坐標．

試題解析：（1）設⊙，⊙的公共點為,

由已知得，，

故，因此曲線是長軸長，焦距的橢圓，

所以曲線；

（2）由曲線的方程得，上頂點，記，

若直線的斜率不存在，則直線的方程為，故，且，

因此，與已知不符，

因此直線AB的斜率存在，

設直線，代入橢圓： ①

因為直線與曲線有公共點，所以方程①有兩個非零不等實根，

故，

又， ，

由，得

即

所以

化簡得： ，故或，結合知，

即直線恒過定點．