Question

（12分）如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點。
（1）求證：B1C1⊥平面ABB1A1；
（2）在CC1上是否存在一點E，使得∠BA1E＝45°，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請說明理由。

Answer 1

略

（1）∵AB＝B1B
∴四邊形ABB1A1為正方形，
∴A1B⊥AB1
又∵AC1⊥面A1BD，
∴AC1⊥A1B，
∴A1B⊥面AB1C1，
∴A1B⊥B1C1
又在直棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥B1C1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1…………………………………………6分
（2）證明：設AB＝BB1＝a，CE＝x，
∵D為AC的中點，且AC1⊥A1D，
∴A1B＝A1C1＝a
又∵B1C1⊥平面ABB1A1，B1C1⊥A1B1
∴B1C1＝a，BE＝，
A1E＝，
在△A1BE中，由余弦定理得
BE2＝A1B2＋A1E2－2A1B·A1E·cos45°，
即a2＋x2＝2a2＋3a2＋x2－2ax－2·a·，
∴＝2a－x，解得x＝a，即E是C1C的中點
∵  D．E分別為A    C．C1C的中點，∴DE∥AC1
∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD
又∵PE平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE…………………………12分