Question

（本小題滿分14分）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點．
（I）求證：EF平面PAD；
（II）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小；

Answer 1

（I）證明略；
（II）

方法1：（I）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，
∴平面PAD，                                           …………（4分）
∵E、F為PA、PB的中點，
∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                  …………（6分）
（II）解：過P作AD的垂線，垂足為O，
∵，則PO 平面ABCD．
取AO中點M，連OG，,EO,EM,
∵EF //AB//OG,
∴OG即為面EFG與面ABCD的交線…………（8分）
又EM//OP,則EM平面ABCD．且OGAO,
故OGEO ∴ 即為所求      …………（11分）
 ，EM＝ＯＭ＝１ 
∴tan＝故 ＝              
∴平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小是  …………（14分）

方法2：（I）證明：過P作P O　AD于O，∵，
則PO 平面ABCD，連OG，以OG，OD，OP為x、y、z軸建立空間坐標系，………（2分）
∵PA＝PD　，∴，
得，
， 　　　　 …………（4分）
故，
∵，
∴EF　平面PAD；                        …………（6分）
（II）解：，
設平面EFG的一個法向量為 
則， ，   …………（11分）
平面ABCD的一個法向量為……（12分）
平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值是：
，銳二面角的大小是；             …………（14分）