Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點為F₁，F₂，過F₁的直線垂直于x軸且與該雙曲線相交于A，B兩點，△ABF₂ 的內切圓經過點（0，a），則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、2
• B、3
• C、

  3

• D、

  5

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：確定內切圓圓心坐標，利用利用等面積可得幾何量之間的關系，即可得出結論．

解答： 解：設內切圓圓心為（x，0），則
∵△ABF₂ 的內切圓經過點（0，a），
∴（x+c）²=x²+a²，
∴x=-

b2

2c

．
∵過F₁的直線垂直于x軸且與該雙曲線相交于A，B兩點，
∴A（-c，

b2

a

），
∴AF₂=

4c2+ b4 a2

，
利用等面積可得

1

2

•2c•

b2

a

=

1

2

•

4c2+ b4 a2

•（c-

b2

2c

）
化簡可得e=

3

故選：C．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，考查學生的計算能力，難度中等．