Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦點分別為F₁，F₂，過左焦點F₁作直線l與雙曲線左右兩支分別交于A、B兩點，若△ABF₂為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為（　　）

• A、±

  6

  x+y=0
• B、x±

  6

  y=0
• C、

  3

  x±y=0
• D、x±

  3

  y=0

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據雙曲線的性質，結合△ABF₂為正三角形，求出a，b，c的關系即可得到結論．

解答： 解：設|AB|=|BF₂|=|AF₂|=x，則由|BF₁|-|BF₂|=2a得|AF₁|=2a，
又由|AF₂|-|AF₁|=2a，得|AF₂|=x=4a，
∴△BF₁F₂中，|BF₁|=6a，|BF₂|=4a，|F₁F₂|=2c，結合余弦定理得，（2c）²=（6a）²+（4a）²-2×6a×4a×cos60°⇒4c²=28a²，得a²+b²=7a²，

b2

a2

=6，
漸近線方程為y=±

6

x．
故選A．

點評：本題主要考查雙曲線的漸近線方程，根據雙曲線的圖象和性質是解決本題的關鍵．