Question

（13分）已知圓C的方程為x²+（y﹣4）²=4，點O是坐標原點．直線l：y=kx與圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設Q（m，n）是線段MN上的點，且．請將n表示為m的函數．

Answer 1

（Ⅰ）（﹣∞，﹣）∪（，+∞）（Ⅱ）n=（m∈（﹣，0）∪（0，））

（Ⅰ）將y=kx代入x²+（y﹣4）²=4中，得：（1+k²）x²﹣8kx+12=0（*），
根據題意得：△=（﹣8k）²﹣4（1+k²）×12＞0，即k²＞3，
則k的取值范圍為（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；
（Ⅱ）由M、N、Q在直線l上，可設M、N坐標分別為（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），
∴|OM|²=（1+k²）x₁²，|ON|²=（1+k²）x₂²，|OQ|²=m²+n²=（1+k²）m²，
代入=+得：=+，
即=+=，
由（*）得到x₁+x₂=，x₁x₂=，
代入得：=，即m²=，
∵點Q在直線y=kx上，∴n=km，即k=，代入m²=，化簡得5n²﹣3m²=36，
由m²=及k²＞3，得到0＜m²＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），
根據題意得點Q在圓內，即n＞0，
∴n==，
則n與m的函數關系式為n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．