Question

【題目】設函數， ， .

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）若函數有兩個零點，試求的取值范圍；

（3）證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

（1）求出導數，計算得切線斜率，由點斜式寫出直線方程，整理成一般式即可；

（2）函數有兩個零點，首先用導數來研究函數的性質：單調性、極值，然后由零點存在定理進行判斷，求出，按分類討論， 時， 只有一個零點； 時， ，這樣易判斷的正負，從而得的單調區間和極值，由零點存在定理可判斷符合題意；在時， 有兩個解和，又要按的大小分類研究的正負得的單調性，從而確定零點個數，最后綜合可得；

（3）證明函數不等式，可證，設，利用導數求出的最大值，只要最大值小于等于0，即證．

試題解析：

（1）函數的定義域是， .

當時， ， .

所以函數在點處的切線方程為.

即.

（2）函數的定義域為，由已知得.

①當時，函數只有一個零點；

②當，因為，

當時， ；當時， .

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.

又， ，

因為，所以， 所以，所以

取，顯然且

所以， .

由零點存在性定理及函數的單調性知，函數有兩個零點.

③當時，由，得，或.

當，則.

當變化時， ， 變化情況如下表：

注意到，所以函數至多有一個零點，不符合題意.

當，則， 在單調遞增，函數至多有一個零點，不符合題意.

若，則.

當變化時， ， 變化情況如下表：

注意到當， 時， ， ，所以函數至多有一個零點，不符合題意.

綜上， 的取值范圍是.

（3）證明： .

設，其定義域為，則證明即可.

因為，取，則，且.

又因為，所以函數在上單增.

所以有唯一的實根，且.

當時， ；當時， .

所以函數的最小值為.

所以.

所以.