Question

【題目】已知函數.( )

（I）試確定函數的零點個數；

（II）設是函數的兩個零點，當時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（I）函數的零點即方程的根，變形為，令，根據圖像特征討論即可；

（II）根據是函數的兩個零點，得（），（），得 ，進而利用求范圍即可.

試題解析：

解法1：（I）函數的零點即方程的根，

由得，令，

則，--------------------2分

由得，∴函數在單調遞增，

由得，∴函數在上單調遞減，----3分

∴當時，函數有最大值， ，

又當時， >0，當時；

當時>0， ，當時，

∴當時， 與只有一個公共點，從而函數有一個零點；

當時， 與有兩個公共點，從而函數有兩個零點．

（II）設由（I）知且，

由，得（）

由，得（）

∴ ，

∵∴， ，（兩者僅當時取等號）

∴，又，

∴，

∴，

由得．

解法2：（I）∵， 不是函數的零點；

當時，由得，

設，則，所以在和上單調遞減，

當且時， ；當時， ；

當且時， ；當時， ；

當時，由，有，

當時，有， ，

所以當時，曲線與只一個公共點，函數有一個零點；

當時，曲線與有兩個公共點，函數有兩個零點；

（II）不妨設，由（I）得，且， ，

由， ，得， ，

∴ ，

∵∴， ，（兩者僅當時取等號）

∴，又，

∴，

∴，由得．