Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， 為上的點， 平面；

(Ⅰ)求證： 平面；

(Ⅱ)若，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）連結，證明,即可證明平面.

（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）連結ED，

∵平面平面,平面，

∴，

∵為中點，∴為中點，

∵， ∴ ①，

法一：由平面， 平面，得②，

由①②及是平面內的兩條相交直線，

得平面.

【法二:由平面， 平面

∴平面⊥平面 ，又平面 平面，得平面.】

（Ⅱ）由得，

由（Ⅰ）知，又得,

∵，∴，

如圖以B為原點，建立空間直角坐標系如圖示，

則， ， ，

得， ，

設是平面A1B1D的一個法向量，

則，得，令z=1，得，

設為平面A1BD的一個法向量，則，得，

令得，

依題意知二面角為銳二面角，設其大小為，

則 ，

即二面角的余弦值為．