Question

已知

a

和

b

是兩個(gè)不共線的單位向量，向量

c

=λ

a

+（1-λ）

b

，且|

c

|=

1

2

，則|

a

-

b

|的最小值是（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、

  3

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的模

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)向量及模的運(yùn)算法則得出

c

²=[λ

a

+（1-λ）

b

]2=λ²+2λ（1-λ）

a

•

b

+（1-λ）²=

1

4

，建立|

a

-

b

|與λ的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式法求最小值．

解答： 解：∵|

c

|=

1

2

，∴|

c

|²=

1

4

，而

c

=λ

a

+（1-λ）

b

，
∴

c

²=[λ

a

+（1-λ）

b

]2=λ²+2λ（1-λ）

a

•

b

+（1-λ）²=

1

4

，
又|

a

-

b

|²=2-2

a

•

b

=2+2

λ2+2λ(1-λ)+(1-λ)2- 1 4

λ(1-λ)

=

3 4

λ(1-λ)

，
且λ（1-λ）≤[

λ+(1-λ)

2

]2=

1

4

，∴

3 4

λ(1-λ)

≥3，從而|

a

-

b

|的最小值是

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)λ=1-λ，λ=

1

2

時(shí)取得最小值．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量模的運(yùn)算法則，函數(shù)思想，基本不等式法求最值．建立函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．