Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的單調區間.

（2）試問：是否存在實數，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間為，單調遞增區間為 （2）存在實數，使得對恒成立

【解析】

（1）當時，得，求得，進而求解函數的單調區間；

（2）假設存在實數，使得對恒成立，利用導數求得函數的單調性和最值，分類討論，即可求解。

（1）當時，，，

當時，；

當時，.

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2），.

假設存在實數，使得對恒成立.

當時，對恒成立，則在上單調遞減，

從而，又，則.

當時，對恒成立，則在上單調遞增，

從而，又，所以.

當時，令，得，

若，；若，.

從而，則.

令，則，易知在上單調遞增，

則，從而不可能成立.

綜上，存在實數，使得對恒成立.