Question

如圖，正三棱柱所有棱長都是2，D棱AC的中點，E是棱的中點，AE交于點H.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求點到平面的距離.

Answer 1

(1)參考解析；(2) ；(3)

試題分析：(1)由正三棱柱，可得平面ACB⊥平面.又DB⊥AC.所以如圖建立空間直角坐標系.分別點A,E,B,D, 的坐標，得出相應的向量.即可得到向量AE與向量BD，向量的數量積為零.即可得直線平面.

(2)由平面,平面分別求出這兩個平面的法向量，根據法向量的夾角得到二面角的余弦值（根據圖形取銳角）.
(3)點到平面的距離，轉化為直線與法向量的關系，再通過解三角形的知識即可得點到平面的距離.本小題關鍵是應用解三角形的知識.
試題解析：（1）證明：建立如圖所示，
  ∵ 
∴     即AE⊥A₁D，  AE⊥BD
∴AE⊥面A₁BD
（2）由 ∴取
設面AA₁B的法向量為  ，
由圖可知二面角D—BA₁—A的余弦值為  
（3），平面A₁BD的法向量取
則B₁到平面A₁BD的距離d=