Question

如圖，棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，∠ABC＝60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC＝60°．

(1)證明：BD⊥AA₁；
(2)求銳二面角D－A₁A－C的平面角的余弦值；
(3)在直線CC₁上是否存在點P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1)證明見解析；(2) 二面角D－A₁A－C的平面角的余弦值是．(3)存在，點P在C₁C的延長線上且使C₁C＝CP．

試題分析：(1)連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A₁O,可證A₁O⊥底面ABCD，則可建立如圖所示的空間直角坐標系，分別寫出的坐標，進而得，坐標，由坐標運算可得，即兩向量垂直，得兩線垂直；(2)分別求出兩平面的一個法向量，，利用，可得二面角的平面角的余弦值；(3)令存在，在直線CC₁ 上設，P(x，y，z)，得＝(，1＋λ，λ)，取平面DA₁C一法向量，知·＝0，得的值，P點可求．

解：連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A₁O．
在△AA₁O中，AA₁＝2，AO＝1，∠A₁AO＝60°，
∴A₁O²＝＋AO²－2AA₁·AOcos 60°＝3，
∴AO²＋A₁O²＝A₁A²，∴A₁O⊥AO，
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∴A₁O⊥底面ABCD， 2分
∴以OB、OC、OA₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A₁(0,0，)．
(1)由于＝(，0,0)，＝(0,1，)，則·＝0×()＋1×0＋×0＝0，
所以:BD⊥AA₁．      4分
(2)由于OB⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C的法向量＝(1,0,0)，設⊥平面AA₁D，則
設＝(x，y，z)，
得到取，  6分
∴，
∴二面角D－A₁A－C的平面角的余弦值是．  8分
(3)假設在直線CC₁上存在點P，使BP∥平面DA₁C₁，
設，P(x，y，z)，則(x，y－1，z)＝λ(0,1，)，  9分
得P(0,1＋λ，λ)，＝(，1＋λ，λ)．
設⊥平面DA₁C₁，則．
設＝(x₃，y₃，z₃)，得到．
不妨取＝(1,0，－1)．      10分
又∵∥平面DA₁C₁，則·＝0，即－λ＝0，得λ＝－1，
即點P在C₁C的延長線上且使C₁C＝CP      12分