Question

【題目】已知橢圓： 的左頂點為，右焦點為，過點且斜率為1的直線交橢圓于另一點，交軸于點， ．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線與橢圓交于兩點，連接（為坐標原點）并延長交橢圓于點，求面積的最大值及取最大值時直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 面積的最大值為3，此時直線的方程為

【解析】試題分析：（1）根據題意列出關于 、 、的方程組，結合性質 ， ，求出 、 、，即可得結果；（2）設直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式及基本不等式的性質，即可求得面積為，根據基本不等式可求最大值及直線的方程.

試題解析：（1）由題知，故，代入橢圓的方程得，又，故，橢圓.

（2）由題知，直線不與軸重合，故可設，由得，

設，則，由與關于原點對稱知，

，

， ，即，當且僅當時等號成立，

面積的最大值為3，此時直線的方程為.