Question

．已知橢圓的左、右焦點分別是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點T在線段F₂Q上，并且滿足

（Ⅰ）設為點P的橫坐標，證明；
（Ⅱ）求點T的軌跡C的方程；
（Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F₁M的面積S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；  （Ⅱ） （Ⅲ）

(I)設點P的坐標為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，
得
然后再根據知,因而
（II）本小題應先討論時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上．
然后再根據當且時，由，得．
又，所以T為線段F₂Q的中點．所以可得,從而說明點T的軌跡方程為以O為圓心半徑為a的圓.
(III)先假設在C上存在點M（）使S=的充要條件是
然后可得，由④得所以可得當時，存在點M，使S=.然后再對坐標化進一步推導即可.
（Ⅰ）設點P的坐標為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得

又由知，
所以
（Ⅱ） 當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上．
當且時，由，得．
又，所以T為線段F₂Q的中點．
在△QF₁F₂中，，所以有
綜上所述，點T的軌跡C的方程是 
（Ⅲ） C上存在點M（）使S=的充要條件是
由③得，由④得 所以，當時，存在點M，使S=；
當時，不存在滿足條件的點M．
當時，，
由，
，
，得