Question

（2013•佛山一模）如圖，已知圓O的直徑AB長度為4，點D為線段AB上一點，且AD=

1

3

DB，點C為圓O上一點，且BC=

3

AC．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=BD．
（1）求證：CD⊥平面PAB；
（2）求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）由AB是圓的直徑，得到AC⊥CB，結合BC=

3

AC算出∠ABC=30°，進而得到BC=2

3

．△BCD中用余弦定理算出CD長，從而CD²+DB²=BC²，可得CD⊥AO．再根據PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，結合線面垂直的判定定理即可證出CD⊥平面PAB；
（2）根據（1）中計算的結果，利用錐體體積公式算出VP-BDC=

3 3

2

，而V_P-BDC=V_D-PDC，由此設點D到平面PBC的距離為d，可得

1

3

S△PBC•d=

3 3

2

，結合△PBC的面積可算出點D到平面PBC的距離．

解答：解：（1）∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥CB，
∵Rt△ABC中，由

3

AC=BC，∴tan∠ABC=

AC

BC

=

3

3

，∠ABC=30°，
∵AB=4，3AD=DB，∴DB=3，BC=2

3

，
由余弦定理，得△BCD中，CD²=DB²+BC²-2DB•BCcos30°=3，
∴CD²+DB²=12=BC²，可得CD⊥AO．-----------------（3分）
∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，即PD⊥平面ABC，
又∵CD?平面ABC，∴PD⊥CD，-----------------（5分）
∵PD∩AO=D得，∴CD⊥平面PAB．-----------------（6分）
（2）由（1）可知，PD=DB=3，且Rt△BCD中，CD=BCsin30°=

3

，--------（7分）
∴VP-BDC=

1

3

S△BDC•PD=

1

3

•

1

2

DB•DC•PD=

1

3

×

1

2

×3×

3

×3=

3 3

2

．--------（10分）
又∵PB=

PD2+DB2

=3

2

，PC=

PD2+DC2

=2

3

，BC=

DB2+DC2

=2

3

，
∴△PBC為等腰三角形，可得S△PBC=

1

2

×3

2

×

12- 9 2

=

3 15

2

．--------（12分）
設點D到平面PBC的距離為d，由V_P-BDC=V_D-PBC，得

1

3

S△PBC•d=

3 3

2

，解之得d=

3 5

5

．--------（14分）

點評：本題給出底面△ABC在外接圓中的三棱錐，求證線面垂直并求點到平面的距離，著重考查了線面垂直的判定與性質、錐體體積公式和點面距離的求法等知識，屬于中檔題．