Question

【題目】若函數滿足：，則稱為“函數”．

（1）試判斷是否為“函數”，并說明理由；

（2）若為“函數”且，

（ⅰ）求證：的零點在上；

（ii）求證：對任意，存在，使在上恒成立．

Answer 1

【答案】(1)是“函數”，理由見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)因為滿足,所以是“函數”；(2)(i)由

且,解得,根據函數和都在上單調遞增,可得單調遞增,再根據零點存在性定理可判斷零點在上；(ii)由(i)可知,且,又因為函數單調遞增,所以在時,,所以存在,使在上恒成立.

試題解析：解：（1）∵，

∴為“函數”．

（2）∵①

②

∴①+②得：，∴．

（ⅰ）∵與均為增函數，∴在上為贈函數，

又，∴的唯一零點必在上．

∵，，∴的唯一零點在上．

（ⅱ）由（ⅰ）知，的零點，且，

又在上為增函數，∴在上恒成立，

∴對任意，存在，使在上恒成立．