Question

【題目】某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示.圓的圓心與矩形對(duì)角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切（為上切點(diǎn)），與左右兩邊相交（，為其中兩個(gè)交點(diǎn)），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1，且，設(shè)，透光區(qū)域的面積為.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；

（2）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好.當(dāng)該比值最大時(shí)，求邊的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，定義域?yàn)?/span>；

（2）透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時(shí)，的長(zhǎng)度為1．

【解析】試題分析：

(1) 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，定義域?yàn)?/span>；

(2)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)

試題解析：

解:(1) 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

所以，

．

所以

，

因?yàn)?/span>，所以，所以定義域?yàn)?/span>．

（2）矩形窗面的面積為．

則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為．

設(shè)，．

則

，

因?yàn)?/span>，所以，所以，故，

所以函數(shù)在上單調(diào)減．

所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)

答：（1）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，定義域?yàn)?/span>；

（2）透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時(shí)，的長(zhǎng)度為1．