Question

【題目】橢圓的右焦點為F到直線的距離為，拋物線的焦點與橢圓E的焦點F重合，過F作與x軸垂直的直線交橢圓于S，T兩點，交拋物線于C，D兩點，且．

（1）求橢圓E及拋物線G的方程;

（2）過點F且斜率為k的直線l交橢圓于A，B點，交拋物線于M，N兩點，如圖所示，請問是否存在實常數，使為常數，若存在，求出的值;若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程為，拋物線G的方程為；（2）存在，理由見解析.

【解析】

（1）設橢圓于拋物線的公共焦點，根據右焦點F到直線的距離為，得到，解得，再由，即，解得a，b即可.

（2）設，直線l的方程與橢圓方程，拋物線方程分別聯立，利用弦長公式分別求得 ，，代入分析求解.

（1）設橢圓與拋物線的公共焦點，

因為F到直線的距離為，

所以，

解得，所以，，

因為，所以，

所以，又，

解得，

所以橢圓方程為，拋物線G的方程為.

（2）設，

設直線l的方程為：，與橢圓方程聯立消去y得：，

所以，

所以.

直線l的方程與拋物線方程聯立消去y得：

，

所以，

所以，

所以，

要使為常數，則，解得.

故存在使得為常數.