Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，.

（1）求證：平面；

（2）求異面直線與所成角的大小；

（3）點在線段上，且，點在線段上，若平面，求的值（用含的代數式表示）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）根據三棱柱的結構特征，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到，再利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；

（2）由（1）得到，建立空間直角坐標系，求得向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（3）由，得，設，得，求得向量的坐標，結合平面，利用，即可求解.

（1）在三棱柱中，由平面，所以平面，

又因為平面，所以平面平面，交線為.

又因為，所以，所以平面.

因為平面，所以

又因為，所以，

又，所以平面.

（2）由（1）知底面，，如圖建立空間直角坐標系，

由題意得，，，.

所以，.

所以.

故異面直線與所成角的大小為.

（3）易知平面的一個法向量，

由，得.

設，得，則

因為平面，所以，

即，解得，所以.