Question

【題目】若點在平面外，過點作面的垂線，則稱垂足為點在平面內的正投影，記為.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與不重合），，.給出下列三個結論：①線段長度的取值范圍是；②存在點使得平面；③存在點使得.其中正確結論的序號是_______.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標，利用向量法驗證各個結論，即可得到結果.

過作，垂足為；過作，交于；連接，交于，如下圖所示：

平面，平面，，

又，平面，，平面，

，平面，平面，，

即為；

四邊形為正方形，，

平面，平面，，

又平面，，平面，

，即為.

以為坐標原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系，

設，則，，，，，

對于①，，，，

，①正確；

對于②，平面，平面的一個法向量，

又，令，即，

解得：，存在點，使得平面，②正確；

對于③，，，

令，方程無解，

不存在點，使得，③錯誤.

故答案為：①②.